LATIHAN SOAL KUANTOR - INDUKSI MATEMATIKA PERTEMUAN 3

TUGAS PERTEMUAN 3 : 

A.Quantifier(Kuantor)

1.    Tentukan validitas pernyataan di bawah ini bila domain pembicaraannya himpunan bilangan real :

(a)  ∀x, ∀y, P (x²  < y + 1)  

∀x, ∃y, P (x²    < y + 1)           

∃x, ∀y, P (x²  < y + 1)          

∃y, ∃y ,P (x²    < y + 1

           

                (b) ∀x, ∀y, P  [(x  < y )à (x² < y²)] 

                            ∀x, ∃y,  P  [(x    < y )à (x² < y²)] 

                            ∃x, ∀y, P  [(x  < y )à (x² < y²)] 

∃y, ∃y ,P   [(x    < y )à (x² < y²)] 

           

       Jawab :

a). Semua bilangan real dalam himpunan x dan himpunan y yang merupakan

     bilangan real. Bilangan x real dapat dibagi habis dengan bilangan y real.

     Setiap ada bilangan real dari himpunan y dan semua dari himpunan x.

     Bilangan-bilangan x dapat dibagi habis oleh beberapa bilangan y. Beberapa ada

     bilangan real dari himpunan x dan semua dari himpunan y. Bilangan x tidak

     tidak dapat dibagi habis oleh semua bilangan y dinyatakan salah. Beberapa

     bilangan x dan juga beberapa bilangan y,harusnya kalau dihitung bilangan

     tersebut dengan operator < bahwa tidak benar.

b). Semua bilangan real dalam himpunan x dan himpunan y merupakan bilangan.

     jika himpunan x kurang dari himpunan  y maka himpunan x² kurang dari

     himpunan y^2. Semua bilangan x adalah real dan beberapa himpunan y adalah

     bilangan real. Jika anggota himpunan x kurang dari anggota himpunan y maka

     anggota himpunan x²  kurang dari anggota himpunan y². Beberapa anggota

     himpunan x adalah bilangan real dan semua anggota himpunan y adalah

     bilangan real. Jika anggota himpunan x kurang dari anggota himpunan y maka

     anggota himpunan x² kurang dari anggota himpunan y². Beberapa anggota

     himpunan x adalah bilangan real dan beberapa anggota himpunan y adalah

     bilangan real. Jika anggota himpunan x kurang dari anggota himpunan y maka

     anggota himpunan x² kurang dari anggota himpunan y^2.

    

        

2.Negasikan setiap pernyataan di bawah ini :

   (a) ∀x, P (x) ∧ ∃y, Q(y)

    (b) ∃x, P (x) v ∀y, Q(y)

   (c) ∀x, ∃y, [ p (x) ∨  (y)]

   Jawaban :

a)    ∀x, P (x) ∧ ∃y, Q(y) = ∃x, P(x) v ∀x, Q(y)

b)    ∃x, P (x) v ∀y, Q =  ∀X, P(X) V  ∃y, Q(y)

c)    ∀x, ∃y, [ p (x) ∨  (y)] = ∃x, ∀y, [P(x) ∧, Q(y)

B. Induksi Matematika

Buktikan dengan induksi matematik :

1.    Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n²

Jawab :

Basis induksi p(1) benar,karena jumlah Satu buah bilangan ganjil positif adalah 1²=1.

Langkah induksi: misalkan p(n)

     benar, yaitu asumsikan bahwa 1 + 3 + 5 + ...+ (2n-1) = ² adalah benar(hipotesis 

     induksi),catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n-1)]

     kita harus memperlihatkan bahwa p(n) juga benar, yaitu :

              1 + 3 + 5 + ....+ (2n-1) + (2n + 1) = (n + 1)²

               Hal ini dapat kita tunjukan sebagai berikut :

               1 + 3 + 5 + ....+ (2n – 1) + (2n + 1) = 1 + 3 + 5 + ...+ (2n – 1) + (2n + 1)

                                                                  = n² + (2n + 1)

                                                                              = n² + 2n + 1

                = (n + 1)² 

                                                                        

2.    Untuk semua n ≥ 1 maka  n³ + 2n adalah kelipatan 3 :

Jawab :

Basis induksi  p(1) benar, karena untuk n + 1, 1³ + 2(1) = 3 adalah kelipatan 3.

Langkah induksi : misalkan p(n) benar yaitu proposisi n³ + 2n adalah kelipatan 3 diasumsikan benar(hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n + 1) juga benar,

Yaitu :

(n + 1)³ + 2(n + 1) adalah kelipatan 3

Hal ini dapat kita tunjukan sebagai berikut :

(n + 1)³ + 2(n + 1)  = (n³ + 3n³ + 3n + 1) + (2n + 2)

                              = (n³  + 2n) + 3n² + 3n + 3

                                 = (n³  + 2n) + 3(n² + n + 1)

3.    1·2 + 2·3 + 3·4 +…+ n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3  :

Jawab :

Untuk n = 1

1.2  + 2.3 + ... + n(n + 1) = (n(n + 1)(n + 2))/3

1(1 + 1) + (1(1 + 1)(1 + 2))/3

1(2) = (1(2)(3))/3

2 = 2i

Terbukti benar untuk n = k

  

Uji untuk n = k + 1

1.2 + 2.3 + .... + n(n + 1) = (n(n + 1)(n + 2))/3

1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k  + 1 + 1)(k + 1  + 2))/3

1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k  +2)(k  + 3))/3

(k(k + 1)(k  + 2))/3 + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 2)(k + 3))/3

(k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)

(k + 3)(k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)

Terbukti benar.

             Jawaban multiplechoice pertemuan 3 :

             1.B      4.C

             2.A      5.E

             3.B